La gamma di argomenti trattati è piuttosto vasta e copre i principali prerequisiti della ricerca scientifica basata su modelli matematici. Si parte dagli spazi vettoriali e dall'integrale di Lebesgue per arrivare fino ai confini della ricerca teorica come lo studio di esponenti critici per le equazioni ellittiche semilineari e i problemi attuali della fluidodinamica. Questo lungo percorso attraversa la teoria degli spazi di Banach e di Hilbert, gli spazi di Sobolev, le equazioni differenziali, le trasformate di Fourier e Laplace alle quali sono premessi opportuni strumenti di analisi complessa. Sono state riportate tutte le dimostrazioni con un interesse didattico o applicativo; sono state invece omesse quelle dimostrazioni troppo tecniche o che richiedono troppe conoscenze. Questo libro ha l'ambizioso proposito di essere utile a un'ampia tipologia di lettori. I primi possibili beneficiari sono sicuramente gli studenti del secondo o terzo anno di un corso di laurea scientifico: qui di seguito troveranno quegli argomenti che servono per iniziare studi più approfonditi in Matematica e in altre discipline, specialmente la Fisica e l'Ingegneria. Ma questo libro potrebbe anche essere utile a studenti già laureati che intendano iniziare un dottorato di ricerca: contiene infatti il materiale di un corso di dottorato multidisciplinare tenuto per vari anni da Filippo Gazzola al Politecnico di Milano. Infine, questo libro potrebbe interessare anche a chi ha già abbandonato gli studi da tempo ma ha saltuariamente bisogno di utilizzare strumenti matematici: ci riferiamo sia a docenti universitari e alla loro ricerca, sia a professionisti e progettisti che intendano modellizzare un certo fenomeno, sia a nostalgici dei bei tempi quando erano ancora studenti.